variables aletorias, distribuciones de probabilidad, varianza, etc.

1-¿Definición de variable aleatoria?
La definición formal de variable aleatoria requiere de ciertos conocimientos profundos de matematica (en concreto de la teoría de la madida).
Dodo un espacio de probabilidad(Ω, A, P) y en un espacio medible(también denominado de veces de espacios de borel), (S, ∑), una aplicación x: Ω S es una variable aleatoria si es una aplicación A, ∑ - medible.

2-¿Cuántos tipos de variables aleatorias existen y define cada una de ellas?
Existen dos tipos de variables aleatorias
1. Variable aleatorio continua: es continua si su recorrido no es conjunto numerables. intuitivamente esta significa que el conjunto de posibles valores de la variable abarca todo un intervalo de números reales.
2.Variable aleatoria independiente: supongamos que “x” y “y” son variables aleatorias discretas. Si los eventos x=x/y=y son variables aleatorias independientes.

3-¿Qué es una distribución en probabilidad?
Supongamos que el resultado de un experimento dislado es uno de los eventos mutuamente exclusivos exhaustivas E o E; cada experimento tiene únicamente dos resultados posibles y en un itento aislado, ambos no pueden ocurrir y no debe hacerlo.

4-¿Define lo que es esperanza en probabilidad?
Es un termino genérico utilizado para describir el comportamiento probabilístico de variable aleatoria “esperanza matematica”.

5-¿define la palabra varianza?
La palabra varianza (que es el cuadro de desviación estándar: 02), se define asi: es la medida de los diferencias con la medida elevados al cuadrado.
Es una medida de la dispercion o varianza de los valores de la variable aleotorio alrededor de N . si los valores tienden a concentrarse alrededor de la medida, la varianza es pequeña; en tanto que si los valores tienden a distribuirse lejos de la medida, la varianza es grande.

6-¿Qué es una desviación estándar?
La desviación (0) mide cuando se separan los datos. La furmula es fácil: es la raíz de la varianza es un numero no negativo. A la raíz cuadrado positiva se le llama desviación típica y estatica por.
0x= var(x) = E[(x- ].

7-¿Que es una función de probabilidad discreta?
Es combeniente de conocer al que se le denomin una funcion de probabilidad distribucion de probabilidad.
Ya sea x una variable aleatoria que toma valores en conjunto finito de numeros en un finito como: los naturales , enteros y los reales.
Un ejemplo de este si x toma los valores sig: Por la funcion de probabilidad 1,2,3……..se tiene que
P1+P2+P3+ P(x=1).

8-¿Define lo que es la distribución acumulativa?
esto se aplica al bdiscutir distribuciones generasles:algunas distruibuciones especificas tienen su propia notacion convencional, un ejemplo es la distribucon normal.
si tratas varias variables
al azar x, y.. las letras correspondientes se utilizan como subíndices mientras que si trata solamente uno, se omite el subíndice.

9-¿Escriba la definición de la distribución de probabilidad binomial?
Es una de las distribuciones discretas de probabilidad más útiles, sus áreas de aplicación incluyen inspección de calidad, ventas, mercadotecnia, medicina, investigación de opiniones y otras. Se puede imaginar un experimento en el que el resultado es la ocurrencia o la no ocurrencia de un evento. sin pérdida de generalidad llamarse “éxito” a la ocurrencia del evento y “fracaso” a su no ocurrencia.

10-¿explica en que consiste la distribucion de probabilidad de poisson?
La distribución de Poisson se emplea para describir varios procesos, entre otros la distribución de las llamadas telefónicas que llegan a un conmutador, la demanda (necesidades) de servicios en una institución asistencial por parte de los pacientes, los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro y el número de accidentes en un cruce. Los ejemplos citados tienen un elemento en común, pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que asume valores enteros (0,1,2,3,4,5 y así sucesivamente).

Una variable aleatoria discreta sigue la distribución de Poisson si la función de distribución es:

donde x es el valor esperado y la varianza de la distribución.

FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULATIVA DE DISCRETA

Combinaciones y permutaciones

PERMUTACION: Es un arreglo de distintos elementos una permutación difiere de otra si el orden del arreglo difiere o si el contenido difiere.
“una permutación es una combinación ordenada”
Permutaciones
Hay dos tipos de permutaciones:
Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".
Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.
Permutaciones con repetición
Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:
n × n × ... (r veces) = nr
(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)
Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:
10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones
Así que la fórmula es simplemente:
nr
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(Se puede repetir, el orden importa)


Permutaciones sin repetición
En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.
Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?
Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.
Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:
16 × 15 × 14 = 3360
Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.
¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"
La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos:
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
1! = 1

Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...
16 × 15 × 14 × 13 × 12 ... = 16 × 15 × 14 = 3360

13 × 12 ...
¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14

COMBINACION: Es un arreglo de distintos elementos, en orden una combinación defiere de otra solamente si el contenido del arreglo es distinto.
Combinaciones
También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):
Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)
HAY DOS TIPOS DE COMBINACIONES.

1. Combinaciones con repetición
En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.
2. Combinaciones sin repetición
Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!
Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:
El orden importa El orden no importa
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1 1 2 3



Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.
De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:
3! = 3 × 2 × 1 = 6
(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)
Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos.

Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(No se puede repetir, el orden no importa)
Y se la llama "coeficiente binomial".
Además de los "grandes paréntesis", la gente también usa estas notaciones:




Ejemplo
Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:
16! = 16! = 20,922,789,888,000 = 560

3!(16-3)! 3!×13! 6×6,227,020,800
O lo puedes hacer así:
16×15×14 = 3360 = 560

3×2×1 6

Es interesante darse cuenta de que la fórmula es simétrica:

Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas de 16.
Asi tiene que quedar el ejemplo:
16! = 16! = 16! = 560

3!(16-3)! 13!(16-13)! 3!×13!
.







EJERCICIOS DE COMBINACION Y PERMUTACION.

¿Cuántas cantidades de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 4, 5, 6, 7, 8, y 9 si no se permite la repetición?

6P4 = 6!/2! = 720/2 = 6P4 = 360
¿Cuántas cantidades de tres cifras se pueden formar con los dígitos 3, 4, 5,y 6 si se permite la repetición?

4P3 = 4^6=4*4*4*4*4*4= 4P3 = 4096.
Un entrenador de baloncesto dispone de 12 jugadores ¿Cuántos diferentes equipos de cinco jugadores pueden formar?

12C5 = 12!/(5!*7!) = 479001600/(120*5040) = 479001600/604800 = 12C5= 792.


De una clase de 20 niñas se escogerán 6 para ir a un paseo ¿cuántas posibles grupos de 6 se pueden formar?

20P6= 20!/(6!*4!) = 38760.


EJERCICIOS:

DIAGRAMAS DE ARBOL
Tenemos 10 niños.
6 niñas

formar un comité de alumnos de 3niños cuál es la probabilidad de formar.

3 niños
10/16 *9/(15 ) *8/14 = P (3 Niños)=0.24


Probabilidad de que sean2 niños y 1 niño.

10/16 * 9/15 * 6/14 = 0.160 niño – niño – niña

6/16 * 10/14 * 9/15 = 0.160 niña – niño – niño

10/16 * 6/15 * 9/14 = 0.160 niño – niña – niño

P= 0.160 + 0.160 + 0.160 = P(2 niños y 1 niña)= 0.48


Probabilidad de que sean 2 niñas y 1 niño.

6/16 * 5/15 * 10/14 = 0.089 niña – niña – niño

10/16 * 6/15 * 5/14 = 0.089 niño – niña – niña

6/16 * 10/15 * 5/14 = 0.089 niña – niño – niña
P= 0.089 + 0.089 + 0.089 = P (2 niñas y 1 niño)= 0.267 .

Probabilidad de que sean 3 niñas.

6/16 * 5/15 * 4/14 = P (3 niñas)= 0.0357.


Calcular la probabilidad de que al arrojar 3 monedas caiga 3 veces cara.

1/2* 1/2 *1/2 = P (3 caras )= 0.125.