Combinaciones y permutaciones

PERMUTACION: Es un arreglo de distintos elementos una permutación difiere de otra si el orden del arreglo difiere o si el contenido difiere.
“una permutación es una combinación ordenada”
Permutaciones
Hay dos tipos de permutaciones:
Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".
Sin repetición: por ejemplo los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.
Permutaciones con repetición
Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:
n × n × ... (r veces) = nr
(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)
Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:
10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones
Así que la fórmula es simplemente:
nr
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(Se puede repetir, el orden importa)


Permutaciones sin repetición
En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.
Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?
Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez.
Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:
16 × 15 × 14 = 3360
Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.
¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial"
La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos:
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
1! = 1

Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...
16 × 15 × 14 × 13 × 12 ... = 16 × 15 × 14 = 3360

13 × 12 ...
¿Lo ves? 16! / 13! = 16 × 15 × 14

COMBINACION: Es un arreglo de distintos elementos, en orden una combinación defiere de otra solamente si el contenido del arreglo es distinto.
Combinaciones
También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):
Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)
HAY DOS TIPOS DE COMBINACIONES.

1. Combinaciones con repetición
En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.
2. Combinaciones sin repetición
Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!
Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:
El orden importa El orden no importa
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1 1 2 3



Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.
De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:
3! = 3 × 2 × 1 = 6
(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)
Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos.

Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(No se puede repetir, el orden no importa)
Y se la llama "coeficiente binomial".
Además de los "grandes paréntesis", la gente también usa estas notaciones:




Ejemplo
Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:
16! = 16! = 20,922,789,888,000 = 560

3!(16-3)! 3!×13! 6×6,227,020,800
O lo puedes hacer así:
16×15×14 = 3360 = 560

3×2×1 6

Es interesante darse cuenta de que la fórmula es simétrica:

Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas de 16.
Asi tiene que quedar el ejemplo:
16! = 16! = 16! = 560

3!(16-3)! 13!(16-13)! 3!×13!
.







EJERCICIOS DE COMBINACION Y PERMUTACION.

¿Cuántas cantidades de cuatro cifras se pueden formar con los dígitos 4, 5, 6, 7, 8, y 9 si no se permite la repetición?

6P4 = 6!/2! = 720/2 = 6P4 = 360
¿Cuántas cantidades de tres cifras se pueden formar con los dígitos 3, 4, 5,y 6 si se permite la repetición?

4P3 = 4^6=4*4*4*4*4*4= 4P3 = 4096.
Un entrenador de baloncesto dispone de 12 jugadores ¿Cuántos diferentes equipos de cinco jugadores pueden formar?

12C5 = 12!/(5!*7!) = 479001600/(120*5040) = 479001600/604800 = 12C5= 792.


De una clase de 20 niñas se escogerán 6 para ir a un paseo ¿cuántas posibles grupos de 6 se pueden formar?

20P6= 20!/(6!*4!) = 38760.


EJERCICIOS:

DIAGRAMAS DE ARBOL
Tenemos 10 niños.
6 niñas

formar un comité de alumnos de 3niños cuál es la probabilidad de formar.

3 niños
10/16 *9/(15 ) *8/14 = P (3 Niños)=0.24


Probabilidad de que sean2 niños y 1 niño.

10/16 * 9/15 * 6/14 = 0.160 niño – niño – niña

6/16 * 10/14 * 9/15 = 0.160 niña – niño – niño

10/16 * 6/15 * 9/14 = 0.160 niño – niña – niño

P= 0.160 + 0.160 + 0.160 = P(2 niños y 1 niña)= 0.48


Probabilidad de que sean 2 niñas y 1 niño.

6/16 * 5/15 * 10/14 = 0.089 niña – niña – niño

10/16 * 6/15 * 5/14 = 0.089 niño – niña – niña

6/16 * 10/15 * 5/14 = 0.089 niña – niño – niña
P= 0.089 + 0.089 + 0.089 = P (2 niñas y 1 niño)= 0.267 .

Probabilidad de que sean 3 niñas.

6/16 * 5/15 * 4/14 = P (3 niñas)= 0.0357.


Calcular la probabilidad de que al arrojar 3 monedas caiga 3 veces cara.

1/2* 1/2 *1/2 = P (3 caras )= 0.125.